Расчет штата поваров и суточного наряда — Мегаобучалка

Штатная численность работников столовой определяется исходя из их количества, необходимого для приготовления обеденных блюд.

Расчет ведется в условных блюдах, при этом учитывают нормы времени, установленные для приготовления единицы изделия.

Расчет количества поваров ведут по формуле:

, чел                                                                       (13)

где: N_y– количество условных блюд;

t_y  – норма времени на одно условное блюдо (0,028 ч)

t  – продолжительность приготовления блюд, которая зависит от условий работы столовой воинской части , ч.

1,15 – коэффициент, учитывающий рост производительности труда

Таблица 4. Расчет количества условных блюд

Исходя из этого для приготовления обеда необходимо:

Таким образом, потребность в поварах для максимальной смены составит 16 чел.

Часть поваров этой смены готовит также ужин. Другая смена поваров должна готовить завтрак, состоящий из одного горячего блюда и чая. В состав этой смены берется 20 % от числа поваров, занятых приготовлением обеда.

В нашем случае это составит 4 чел.

Третья смена поваров отдыхает, с поварами могут проводиться занятия  по боевой, политической и специальной подготовке. В ее состав входит до 40% числа поваров, приготовляющих обед. Это составит 7 человек. Таким образом, общее количество поваров составит 27 человек.

Состав смен окончательно определяют при составлении графика работы поваров. График составляют на 7 дней с указанием времени работы каждой смены и с учетом выходных дней.

Однако в воинской части количество поваров в столовой устанавливается ее штатом.

В соответствии с Руководством по организации питания личного состава воинских частей и учреждений Вооруженных Сил Российской Федерации, при определении количества поваров исходят из следующих норм:

в столовой, где питаются:

· до 150 человек — 3 повара,

· от 151 до 200 человек — 4 повара,

· в последующем на каждые 125 питающихся добавляется 1 повар.

Инструктор-повар содержится при численности питающихся свыше 500 человек и в расчетное количество поваров не засчитывается, а мастер по технологии приготовления пищи — при численности питающихся свыше 1000 человек.

Составим график работы поваров.

График работы поваров

Повара	Дни, недели и время														Количество дежурств	Количество часов
	1		2		3		4		5		6		7
	Смена
	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
	20. 00-8.00	8.00-20.00	20.00-8.00	8.00-20.00	20.00-8.00	8.00-20.00	20.00-8.00	8.00-20.00	20.00-8.00	8.00-20.00	20.00-8.00	8.00-20.00	20.00-8.00	8.00-20.00

График работы поваров, подписанный инструктором-поваром утверждается начальником столовой.

Расчет количества лиц суточного наряда столовой для цехов и помещений производят на основании норм выработки полуфабрикатов, количества натуральных или условных единиц продукции, которые повар или смена должны выработать в единицу времени.

В соответствии с Руководством по организации питания личного состава воинских частей и учреждений Вооруженных Сил Российской Федерации, суточный наряд по столовой назначается для уборки помещений, доставки продовольствия со склада в столовую, очистки и дочистки свежих картофеля и овощей, сервировки обеденных столов, мытья столовой и кухонной посуды и других подсобных работ.

Суточный наряд по столовой выделяется из расчета: до 100 человек питающихся в столовой — 3-4 человека, дополнительно выделяется по 2 человека на каждые последующие 100 человек питающихся.

Исходя из этого, общее количество лиц суточного наряда по столовой составит в нашем случае:

Для нарезки хлеба, порционирования сахара и их выдачи выделяется хлеборез на срок, определяемый командиром части, из расчета питающихся в данной столовой: до 500 чел. –1; 501-1000 чел. – 2 и свыше 1000 чел. – 3.

Принимаем –3 чел.

Сводная таблица

Расчет основных технико-экономических показателей работы предприятия общественного питания

333326.03.2013

                                                        
Введение

Переход нашей экономики от планово
— централизованной к рыночной оказался
очень сложным. Этот этап сопровождается
падением производства, информацией, снижением 
жизненного уровня населения и
нарастанием социальной напряженности
в обществе. Таких существенных негативных
последствий никто не предполагал; прогнозировалось
экономическое ухудшение в стране, но
не в таких масштабах. Почему же произошла
такая ситуация?

Можно назвать множество объективных
и субъективных причин, но ни одна из них
до конца не раскроет суть происходящего,
настолько это многоплановое и не ординарное
явление для нашей страны. Управленческий
персонал не был подготовлен к выполнению
своих функций в условиях рыночных отношений.

Все это сыграло негативную роль
при осуществлении экономической 
реформы в России. Отсюда можно 
сделать вывод, что подготовка экономистов 
новой формации, глубоко понимающих
теорию рыночной экономики и умеющих 
эффективно использовать полученные знания
на практике как на макро — , так и на
микроуровне, имеет исключительно важное
значение для России.

Известно, что экономика подразделяется
на две основные области: макроэкономику
и микроэкономику.

Макроэкономика изучает экономическое 
состояние, «здоровье» страны в целом.
В макроэкономике все величины рассматриваются
в агрегированном, совокупном виде: национальный
доход, валовой национальный продукт,
совокупный спрос, совокупное предложение
и д.р.

Микроэкономика связана с деятельностью 
отдельных экономических субъектов.
Она изучает деятельность предприятий,
фирм и отрасли народного хозяйства.

Именно на предприятии создается 
продукция и услуги, необходимые 
для производственных целей и 
нужд населения. Поэтому от того как 
они используют свои ресурсы, какую 
выпускают продукцию по уровню качества
и конкурентоспособности, зависит экономическое
могущество страны и уровень жизни ее
граждан.

Питание является формой потребления.
По мере развития общества питание 
все больше начинает носить общественно 
организованный характер, т.е. развивается
общественное питание. Можно выделить
две формы организации питания:

• Индивидуально организационное питание;
• Общественное питание.

Система общественного питания 
при едином назначении  функционирует 
в различных социально-экономических 
формах. Следует отметить различные
понятия «сфера общественного питания»
и «отрасль общественного питания».

Сфера общественного питания включает
все организационные формы массового 
питания задачами, которых являются
восстановление и поддержание на
должном уровне здоровья людей.
Общественное питание можно рассмотреть
как отрасль, главной целью которой является
предоставление услуг населению в форме
общественно организационного питания
в обмен на его денежные доходы. Для отрасли
общественного питания характерна общность
материально-технической базы, технологической
и организационно- экономической структур.
По оценкам специалистов, в домашних условиях
готовится примерно 83% пищи, на предприятиях
общественного питания — около 17%.

Социально — экономическое значение
общественного питания выражается в условии
для роста производительности и улучшения
организации труда благодаря предоставлению
полноценного горячего питания по месту
работы и учебы населения; в обеспечении
экономии общественного труда и средств;
в создании предпосылок для увеличения
свободного времени членов общества, особенно
женщин.

     Так, на промышленных 
предприятиях с хорошо развитой 
сетью столовых производительность 
труда, по оценкам социологов,
на 7-8 % выше, чем там, где их 
нет.  Для сохранения здоровья
работающих особое значение имеет организация
диетического питания. Оно способствует
увеличению  отработанного времени
в расчете на одного работника, сокращению
потерь времени по болезни.

     Затраты труда на 
приготовление пищи в домашних 
условиях примерно в 5-6 раз выше,
чем в общественном питании. Обследования
свидетельствуют, что в семье из 4 человек
на приготовление пищи тратится 4 часа
ежедневно.

     Материальные затраты 
в общественном питании ниже 
чем, домашнем питании. В среднем 
питании. В среднем на приготовление
одного обеда в столовых требуется примерно
300 г топлива условном выражении, а дома
— в три раза больше.

     Работа в домашнем 
хозяйстве составляет у женщин 
примерно 20,8%, у мужчин – 6,9% внерабочего 
времени. Бюджет времени на 
ведение домашнего хозяйства у женщин
(116 часов) примерно равен бюджету свободного
времени (120 часов). Между тем увеличение
свободного времени является важной социальной
задачей любого общества и одним из показателей
качества жизни.

Рецептуры блюд

1. Расчет основных технико-экономических 
показателей работы предприятия общественного
питания

1.1 Расчет производственной программы

Основной частью плана товарооборота 
предприятия общественного питания 
является реализация продукции собственного
производства, разрабатываемая на основе
производственной программы.

Производственная программа – 
это плановое задание по выпуску 
всех видов продукции собственного
производства на определенный период
с указанием вида продукции, ассортимент 
и цены изделий.

На производственную программу 
влияют:

— численность и состав потребителей;

— спрос на продукцию;

— мощность предприятия;

— наличие сырья и полуфабрикатов;

— наличие квалифицированных кадров.

При планировании выпуска блюд необходимо
учитывать пропускную способность 
зала (предприятия).

Пропускная способность зала
– характеризуется максимальным количеством
потребителей, обслуживаемых за период
времени (смену, месяц).

                                              
ПС=(ВР×Чм)/ВП                                                           
(1)

   где ВР – время работы
зала за день, мин.

Чм – число мест;

ВП – время приема пищи одним 
посетителем, мин.

или           
    ПС=(ВР×S)/(ВП×Пн), где                              
(2)                                                               

S – площадь обеденного зала,
м²;

Пн – норма площади на одного
посетителя (1,9м²).

k – коэффициент заполнения
зала с учетом интенсивности потока посетителей.

Другим показателем, характеризующим 
интенсивность потока потребителей
и пропускную способность предприятия,
является оборачиваемость одного
места. Это – число потребителей, приходящееся
на одно место на предприятии за день.

                                            
Ом=Чплан/Чм                                                            
(3)

   где Чм – число мест;

Чплан – плановое число мест.

Для обновления плана выпуска блюд
используют различные методы планирования
выпуска блюд:

• на основе планового меню;
• по данным изучения спроса потребителей;
• по численности потребителей;
• по данным ожидаемого выполнения плана и расчета сопоставимой базы выпуска блюд;
• на основе расчета производственной мощности кухни и пропускной способности зала.

Плановое меню представляет собой 
перечень блюд по ассортименту и количеству,
подлежащих изготовлению в течение 
определенного периода. На основе планового
меню определяется среднесуточный выпуск
блюд в ассортименте, с указанием массы
порций и их цены.

Разработка планового меню основывается
на большом информационном материале,
отражающем данные о численности 
и составе потребителей, колебания 
спроса на кулинарную продукцию, перспективы
снабжения предприятий сырьем и продуктами.

Сущность метода расчета 
выпуска блюд по данным изучения спроса
заключается в наблюдении за ежедневной
реализацией блюд в течение месяца.

На предприятиях с относительно
постоянным контенгентом потребителей
(столовая при школах, училищах, промышленных
предприятиях) расчет плана выпуска блюд
осуществляется на основе данных о численности
потребителей. При этом учитывается процент
охвата потребителей общественным питанием,
количество дней работы ПОП, среднее число
блюд на одного потребителя и стоимость
дневного рациона.

Годовой (квартальный, месячный)
план выпуска блюд можно рассчитать
по формуле:

ВБплан=ПСмакс×Кпс×Б×Д                                              
(4)                        

   где ВБплан – плановый 
выпуск блюд за период;

ПСмакс – пропускная способность 
обеденного зала, чел.

Кпс – коэффициент использования 
пропускной способности обеденного
зала;

Б – среднее количество блюд на
одного посетителя;

Д – количество рабочих дней
в плановом периоде.

Одним из методов определения плана 
выпуска первых блюд является расчет
производственной мощности кухни столовой.

Производственная мощность – максимально 
возможный выпуск продукции предприятием
(цехом) в единицу времени (смену,
сутки, месяц, год). При расчете мощности
учитывают применение новой техники и
технологии; рациональных методов организации
труда. Рассчитывается в натуральных или
условных показателях: блюдах, условных
блюдах. Расчет производственной мощности
производится по основным выдам продукции
с учетом мощности ведущего экономического
оборудования (котлов, плит, жарочных установок).

                              
М=((В–П)×Ок×Кз)/(в×Об)                                             
(5)

   где В – время работы 
столовой, мин;

П – время простоя оборудования,
мин;

Ок – емкость котлов, л;

Кз – коэффициент заполнения
емкостей;

в – продолжительность одного производственного 
цикла;

Об – емкость одного блюда.

Производственная мощность – величина
не постоянная. Большое внимание на
нее оказывают технический прогресс
и совершенствование организации труда
и производства, ритмичность снабжения
предприятия сырьем и др.

Данный раздел представлен таблицей
1.

Таблица 1 – Расчет производственной
программы в натуральном выражении

1.2 Расчет потребности и стоимости 
сырья

Для работы предприятий общественного
питания необходимо снабжение их сырьём,
полуфабрикатами, покупными товарами
в определенном количестве и ассортименте.
Разрабатывают план снабжения

План снабжения разрабатывается 
в форме продуктового баланса 
и состоит из 3-х разделов:

1. Определение потребности в сырье
и товарах в соответствии с объемом выпуска
продукции, а так же планом оборота по
покупным товарам;

2. Расчет размера запасов сырья и товаров на начало и конец планового периода;
3. Планирование поступления сырья и товаров.

При планировании снабжения наиболее
сложным является определение потребности
в сырье и товарах. Возможно применение
следующих методов расчета потребности
в сырье и покупных товарах:

1. На основе индивидуальных норм
расхода сырья на единицу продукции и
плана выпуска продукции в ассортименте;

2. На основе  среднегрупповых норм
расхода сырья на одно блюдо или на единицу
продукции и плана выпуска продукции в
ассортименте;

3. На основе корректировки расхода
сырья за отчетный год.

Нормы расхода отдельных видов 
сырья на одно блюдо или единицу
кулинарного изделия приведены в сборниках
рецептур блюд для предприятий общественного
питания, которые указаны по массе брутто
и массе нетто, так же в приводятся нормы
выхода готовых блюд.

Для определения потребности в 
сырье на отдельные виды кулинарной
продукции по индивидуальным нормам применяется
формула:

                                
Q_п = (n*q)/1000,                                                            
(6)

где:  Q_п — количество сырья,
необходимое для выполнения производственной
программы, кг;

n – индивидуальная норма расхода 
сырья на единицу изделия, г;

q – 
количество блюд в плановом 
периоде.

Среднегрупповые нормы расхода 
сырья по группам блюд представляют
собой расчетную норму среднего
количества продуктов каждого наименования
на единицу массы или на одно блюд.
Среднегрупповая норма (Н) определяется
с учетом планового ассортимента выпускаемых
блюд и индивидуальных норм расхода сырья
по формуле: 
                     
    Н = ∑ Н_i  ∙ К_i
/∑ К_i, где:                                       
(7)                      

Н_i—
индивидуальная норма расхода сырья на
каждое наименование блюд

К_i— количество блюд данного
наименования

∑ К_i – общее
количество блюд

После определения 
общей потребности в сырье 
и  товарах разрабатываются плановые
нормативы товарных запасов. Их делят
на запасы текущего хранения и запасы
сезонного накопления.

Кондиционирование | Независимость | CDF

← предыдущий

следующий →

5.1.3 Обусловленность и независимость

Мы обсуждали условную вероятность раньше, и вы уже видели некоторые проблемы, связанные со случайными величинами и условной вероятностью. Здесь мы обсудим кондиционирование для случайных величин более подробно и представим условную PMF, условную CDF и условное ожидание. Мы хотели бы подчеркнуть, что существует только одна основная формула относительно условной вероятности, которая
\begin{выравнивание}\label{}
\nonumber P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \textrm{ когда } P(B)>0.
\end{выравнивание}
Любая другая формула, касающаяся условной вероятности, может быть получена из приведенной выше формулы. В частности, если у вас есть две случайные величины $X$ и $Y$, вы можете написать
\begin{выравнивание}\label{}
\nonumber P(X \in C|Y \in D)=\frac{P(X \in C, Y \in D)}{P(Y \in D)}, \textrm{ где } C, D \ подмножество \mathbb{R}.
\end{выравнивание}

Условный PMF и CDF:

Помните, что PMF по определению является вероятностной мерой, то есть это $P(X=x_k)$. Таким образом, можно говорить об условном ПМФ . В частности, условная PMF $X$ для данного события $A$ определяется как
\begin{выравнивание}%\метка{}
\номер P_{X|A}(x_i)&=P(X=x_i|A) \\
\nonumber &=\frac{P(X=x_i \textrm{ и } A)}{P(A)}.
\end{выравнивание}

Пример
Я бросаю верный кубик. Пусть $X$ будет наблюдаемым числом. Найдите условную PMF для $X$, зная, что наблюдаемое число меньше $5$.

• Решение
  • Здесь мы обуславливаем событие $A=\{X

. Для дискретной случайной величины $X$ и события $A$ условная PMF для $X$ при заданном $A$ определяется как
\begin{выравнивание}%\метка{}
\номер P_{X|A}(x_i)&=P(X=x_i|A) \\
\nonumber &=\frac{P(X=x_i \textrm{ и } A)}{P(A)}, \hspace{10pt} \textrm{для любого $x_i \in R_X$}.
\end{выравнивание}
Точно так же мы определяем условных CDF $X$ при заданном $A$ как
\begin{выравнивание}%\метка{}
\nonumber F_{X|A}(x)&=P(X \leq x|A).
\end{выравнивание}

Условная PMF $X$ При заданном $Y$:

В некоторых задачах мы наблюдали значение случайной величины $Y$, и нам нужно обновить PMF другой случайной величины $X$, значение которой еще не наблюдалось. В этих задачах мы используем условных PMF $X$ при заданном $Y$. Условная PMF $X$ при заданном $Y$ определяется как
\begin{выравнивание}%\метка{}
\номер P_{X|Y}(x_i|y_j)&=P(X=x_i|Y=y_j) \\
\nonumber &=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}\\
\nonumber &=\frac{P_{XY}(x_i,y_j)}{P_Y(y_j)}.
\end{выравнивание}
Точно так же мы можем определить условную вероятность $Y$ при $X$:
\begin{выравнивание}%\метка{}
\номер P_{Y|X}(y_j|x_i)&=P(Y=y_j|X=x_i) \\
\nonumber &=\frac{P_{XY}(x_i,y_j)}{P_X(x_i)}.
\end{выравнивание}

Для дискретных случайных величин $X$ и $Y$ условных PMF $X$ при заданном $Y$ и наоборот определяются как
\begin{выравнивание}%\метка{}
\nonumber P_{X|Y}(x_i|y_j)&=\frac{P_{XY}(x_i,y_j)}{P_Y(y_j)},\\
\nonumber P_{Y|X}(y_j|x_i)&=\frac{P_{XY}(x_i,y_j)}{P_X(x_i)}
\end{выравнивание}
для любых $x_i \in R_X$ и $y_j \in R_Y$.

Независимые случайные величины:

Ранее мы определили независимые случайные величины. Теперь, когда мы увидели совместные PMF и CDF, мы можем переформулировать определение независимости.

Две дискретные случайные величины $X$ и $Y$ независимы, если
\begin{выравнивание}%\метка{}
\nonumber P_{XY}(x,y)=P_X(x) P_Y(y), \hspace{10pt} \textrm{ для всех }x,y.
\end{выравнивание}
Эквивалентно, $X$ и $Y$ независимы, если
\begin{выравнивание}%\метка{}
\nonumber F_{XY}(x,y)=F_X(x) F_Y(y), \hspace{10pt} \textrm{ для всех }x,y.
\end{align}

Рисунок 5.4: Пример сетки 5.4

Итак, если $X$ и $Y$ независимы, мы имеем
\begin{выравнивание}%\метка{}
\номер P_{X|Y}(x_i|y_j)&=P(X=x_i|Y=y_j)\\
\nonumber &=\frac{P_{XY}(x_i,y_j)}{P_Y(y_j)}\\
\nonumber &=\frac{P_X(x_i) P_Y(y_j)}{P_Y(y_j)}\\
\номер &=P_X(x_i).
\end{выравнивание}
Как и следовало ожидать, для независимых случайных величин условная PMF равна предельной PMF. Другими словами, знание значения $Y$ не дает никакой информации о $X$.

Пример
Рассмотрим набор точек сетки, показанной на рис. 5.4. Это точки множества $G$, определенные как
\begin{выравнивание}%\метка{}
\nonumber G=\{(x,y) | х, у \in \mathbb{Z}, |х|+|у|\leq 2\}.
\end{выравнивание}
Предположим, что мы совершенно случайно выбираем точку $(X,Y)$ из этой сетки. Таким образом, каждая точка имеет вероятность $\frac{1}{13}$ быть выбранной.

1. Найдите совместную и маргинальную ВМП $X$ и $Y$.
2. Найдите условную PMF для $X$ при $Y=1$.
3. $X$ и $Y$ независимы?

• Раствор
  • 1. Здесь обратите внимание, что
       \begin{выравнивание}%\метка{}
       \nonumber R_{XY}=G=\{(x,y) | х, у \in \mathbb{Z}, |х|+|у|\leq 2\}.
       \end{выравнивание}
       Таким образом, совместная PMF определяется выражением
       \begin{уравнение}
       \номер P_{XY}(x,y) = \left\{
       \begin{массив}{л л}
       \frac{1}{13} & \quad (x,y) \in G \\
       0 & \quad \text{иначе}
       \end{массив} \right.
       \end{уравнение}
       Чтобы найти предельную PMF $X$, $P_X(i)$, мы используем уравнение 5.1. Таким образом,
       \begin{выравнивание}%\метка{}
       \номер &P_X(-2)=P_{XY}(-2,0)=\frac{1}{13},\\
       \nonumber &P_X(-1)=P_{XY}(-1,-1)+P_{XY}(-1,0)+P_{XY}(-1,1)=\frac{3}{13} ,\\
       \номер &P_X(0)=P_{XY}(0,-2)+P_{XY}(0,-1)+P_{XY}(0,0)\\
       \nonumber & \hspace{40pt} +P_{XY}(0,1)+P_{XY}(0,2)=\frac{5}{13},\\
       \nonumber &P_X(1)=P_{XY}(1,-1)+P_{XY}(1,0)+P_{XY}(1,-1)=\frac{3}{13},\\
       \nonumber &P_X(2)=P_{XY}(2,0)=\frac{1}{13}.
       \end{выравнивание}
       Точно так же мы можем найти
       \begin{уравнение}
       \номер P_Y(j) = \влево\{
       \begin{массив}{л л}
       \frac{1}{13} & \quad \text{для} j=2,-2\\
       \frac{3}{13} & \quad \text{для } j=-1,1\\
       \frac{5}{13} & \quad \text{для} j=0\\
       0 & \quad \text{иначе}
       \end{массив} \right.
       \end{уравнение}
       Мы можем записать это в более компактной форме как
       \begin{выравнивание}%\метка{}
       \nonumber P_{X}(k)=P_{Y}(k)=\frac{5-2|k|}{13}, \hspace{10pt} \textrm{ для }k=-2,-1, 0,1,2.
       \end{выравнивание}
    2. Для $i=-1,0,1$ можно написать
       \begin{выравнивание}%\метка{}
       \nonumber P_{X|Y}(i|1)&=\frac{P_{XY}(i,1)}{P_Y(1)}\\
       \nonumber &=\frac{\frac{1}{13}}{\frac{3}{13}}=\frac{1}{3}, \hspace{10pt} \textrm{ для}i=-1 ,0,1.
       \end{выравнивание}
       Таким образом, мы заключаем
       \begin{уравнение}
       \номер P_{X|Y}(i|1) = \left\{
       \begin{массив}{л л}
       \frac{1}{3} & \quad \textrm{ для }i=-1,0,1 \\
       0 & \quad \text{иначе}
       \end{массив} \right.
       \end{уравнение}
       Глядя на приведенную выше условную PMF, мы заключаем, что при $Y=1$ $X$ равномерно распределено по множеству $\{-1,0,1\}$.
    3. $X$ и $Y$ независимы от , а не от . Мы можем видеть это, поскольку условная PMF $X$ при $Y=1$ (вычисленная выше) не совпадает с предельной PMF $X$, $P_{X}(x)$.

Условное ожидание:

Зная, что событие $A$ произошло, мы можем вычислить условное математическое ожидание случайной величины $X$, $E[X|A]$.
Условное ожидание похоже на обычное ожидание. Разница лишь в том, что мы заменяем PMF на условный PMF. В частности, у нас есть
\begin{выравнивание}%\метка{}
\nonumber E[X|A]=\sum_{x_i \in R_{X}} x_i P_{X|A}(x_i).
\end{выравнивание}
Точно так же, учитывая, что мы наблюдали значение случайной величины $Y$, мы можем вычислить условное математическое ожидание $X$. В частности, условное ожидание $
X$ при условии, что $Y=y$ равно
\begin{выравнивание}%\метка{}
\nonumber E[X|Y=y]=\sum_{x_i \in R_{X}} x_i P_{X|Y}(x_i|y).
\end{выравнивание}

Условное ожидание $X$:

\begin{выравнивание}%\метка{}
\nonumber &E[X|A]=\sum_{x_i \in R_{X}} x_i P_{X|A}(x_i),\\
\nonumber &E[X|Y=y_j]=\sum_{x_i \in R_{X}} x_i P_{X|Y}(x_i|y_j)
\end{выравнивание}

Пример
Пусть $X$ и $Y$ такие же, как в примере 5.4.

1. Найти $E[X|Y=1|$.
2. Найти $E[X| -1
3. Найти $E[|X| | -1

• Раствор
  • 1. Чтобы найти $E[X|Y=1]$, мы имеем
       \begin{выравнивание}%\метка{}
       \nonumber E[X|Y=1]=\sum_{x_i \in R_{X}} x_i P_{X|Y}(x_i|1).
       \end{выравнивание}
       В примере 5.4 мы обнаружили, что при $Y=1$ $X$ равномерно распределено по множеству $\{-1,0,1\}$. Таким образом, мы заключаем, что
       \begin{выравнивание}%\метка{}
       \номер E[X|Y=1]=\frac{1}{3}(-1+0+1)=0.
       \end{выравнивание}
    2. Чтобы найти $E[X| -1
       \end{выравнивание}
       Таким образом, у нас есть
       \begin{выравнивание}%\метка{}
       \nonumber E[X|A]&=\sum_{x_i \in R_{X}} x_i P_{X|A}(x_i)\\
       \nonumber &=(-2)\frac{1}{8}+(-1)\frac{1}{4}+(0)\frac{1}{4}+(1)\frac{1} {4}+(2)\фракция{1}{8}=0.
       \end{выравнивание}
    3. Чтобы найти $E[|X| | -1

У условного ожидания есть несколько интересных свойств, которые обычно используются на практике. Таким образом, мы вернемся к условному ожиданию в разделе 5.1.5, где обсудим свойства условного ожидания, условной дисперсии и их применения.

Закон полной вероятности:

Вспомните закон полной вероятности: если $B_1, B_2, B_3,. ..$ является разбиением выборочного пространства $S$, то для любого события $A$ имеем
\begin{выравнивание}\label{}
\nonumber P(A)=\sum_{i} P(A \cap B_i)=\sum_{i} P(A | B_i) P(B_i).
\end{выравнивание}
Если $Y$ — дискретная случайная величина с диапазоном $R_Y=\{y_1,y_2,…\}$, то события $\{Y=y_1\}$, $\{Y=y_2\}$, $\{Y=y_3\}$, $\cdots$ образуют раздел демонстрационного пространства.
Таким образом, мы можем использовать закон полной вероятности. На самом деле мы уже использовали закон полной вероятности, чтобы найти предельные PMF:
\начать{выравнивать}
\nonumber P_X(x)=\sum_{y_j \in R_Y} P_{XY}(x,y_j)=\sum_{y_j \in R_Y} P_{X|Y}(x|y_j)P_Y(y_j).
\end{выравнивание}
Мы можем записать это в более общем виде как
\начать{выравнивать}
\nonumber P(X \in A)=\sum_{y_j \in R_Y} P(X \in A|Y=y_j)P_Y(y_j), \hspace{10pt} \textrm{для любого множества $A$}.
\end{выравнивание}
Аналогичную формулу можно написать и для ожидания. Действительно, если $B_1, B_2, B_3,…$ — разбиение выборочного пространства $S$, то
\begin{выравнивание}\label{}
\nonumber EX=\sum_{i} E[X|B_i]P(B_i).
\end{выравнивание}
Чтобы убедиться в этом, просто напишите определение $E[X|B_i]$ и примените закон полной вероятности. Приведенное выше уравнение иногда называют законом полного ожидания [2].

Закон полной вероятности:
\начать{выравнивать}
\nonumber &P(X \in A)=\sum_{y_j \in R_Y} P(X \in A|Y=y_j)P_Y(y_j), \hspace{10pt} \textrm{для любого множества $A$}.
\end{выравнивание}
Закон полного ожидания:

1. Если $B_1, B_2, B_3,…$ является разбиением выборочного пространства $S$,
   \begin{align}\label{eq:LOTPE-EV}
   EX=\sum_{i} E[X|B_i]P(B_i) \hspace{57pt} (5.3)
   \end{выравнивание}
2. Для случайной величины $X$ и дискретной случайной величины $Y$
   \begin{align}\label{eq:LOTPE-RV}
   EX=\sum_{y_j \in R_Y} E[X|Y=y_j]P_Y(y_j) \hspace{30pt} (5.4)
   \end{выравнивание}

Пример
Пусть $X \sim Geometric(p)$. Найдите $EX$ по результату первого подбрасывания монеты.

• Раствор
  • Помните, что случайный эксперимент $Geometric(p)$ заключается в том, что у нас есть монета с $P(H)=p$. Мы подбрасываем монету несколько раз, пока не увидим первый орёл. $X$ — общее количество подбрасываний монеты. Теперь есть два возможных исхода первого подбрасывания монеты: $H$ или $T$. Таким образом, мы можем использовать закон полного ожидания (уравнение 5.3):
    \begin{выравнивание}%\метка{}
    \номер EX &=E[X|H]P(H)+E[X|T]P(T)\\
    \номер &=pE[X|H]+(1-p)E[X|T]\\
    \номер &=p \cdot 1+(1-p)(EX+1).
    \end{выравнивание}
    В этом уравнении $E[X|T]=1+EX$, потому что броски независимы, поэтому, если первый бросок выпал решкой, это все равно, что начать заново при втором броске. Решая относительно $EX$, получаем
    \begin{выравнивание}%\метка{}
    \nonumber EX =\frac{1}{p}.
    \end{выравнивание}

Пример
Предположим, что количество клиентов, посещающих ресторан быстрого питания в данный день, равно $N \sim Poisson(\lambda)$. Предположим, что каждый покупатель покупает напиток с вероятностью $p$ независимо от других покупателей и независимо от стоимости $N$. {\infty} nP_N(n)=pE[N]=p\lambda.
\end{выравнивание}

/>

← предыдущая

следующая →

Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.

Перестановки и комбинации